Question

【题目】有个人聚会，已知：

（1）每个人至少同其中个人互相认识；

（2）对于其中任意个人，或者其中有2人相识，或者余下的人中有2人相识，证明：这个人中必有3人两两相识.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

假设这个人中无3人彼此相识.

设，是这个人中相识的2人，由反证假设可推出余下的个人中，无1人与，皆相识.因此，至少有个不同的人，其中每个人或同相识，或同相识.

当为偶数时，由上述讨论可知，这个人中恰有一半人与相识，而另一半人则与相识.于是，由题设可推出在某一半人中必含2个相识的人.这与反证假设矛盾.

当为奇数时，.若这几个人中每人与或相识，则与上述讨论类似，可推出矛盾.

不然，存在，他同，皆不相识，于是，个人中除之外的个人中必有一半与相识，另一半与相识.所有相识的人互不相识，所有与相识的人也互不相识.

假设有个人同，皆相识，个人同，皆相识，不难由题设推出，并且这个人构成与相识的人的全部.因而，.不妨设，由可知.

设同，皆相识，与同，皆相识（如图），由于个人中同相识的人至少为个，他们中除外同都相识，故必与，之一相识.不妨设与相识，则，与是彼此相识的人，此与反证假设相矛盾.因此命题为真.