Question

19．已知三棱锥A-BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，当三棱锥A-BCD的体积最大时，则三棱锥A-BCD的表面积为（　　）

• A． $18+6\sqrt{3}$
• B． $18+8\sqrt{3}$
• C． $18+9\sqrt{3}$
• D． $18+10\sqrt{3}$

Answer 1

分析 判断几何体的体积最大时的位置，然后求解三棱锥的表面积．

解答 解：三棱锥A-BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，三棱锥A-BCD的体积最大，
可知BC是球的直径，D在大圆上，当三角形DBC是等腰直角三角形时，面积最大，如果A与球心的连线与BCD平面垂直，则几何体的体积最大；如图：
则三棱锥A-BCD的表面积：

此时OA=OB=OD=OC=3，AB=AD=AC=3$\sqrt{2}$，
BD=DC=3$\sqrt{2}$，三棱锥的表面积为：2×$\frac{1}{2}×6×3$+2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{2}）^{2}$=18+9$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查几何体的外接球，几何体的体积与几何体的位置关系的判断，表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．