Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证二面角E-PC-D为直二面角；
（Ⅱ）求点D到面PEC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG．
∵PA⊥面ABCD，CD?面ACBD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
又∵AG?面PAD，∴CD⊥AG．（2分）
∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线，
∴AG⊥PD，（3分）
∴结合 PD∩AD=D，可得AG⊥面PCD．（4分）
∵FG是△PCD的中位线，
∴FG∥CD且FG=

1

2

CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴FG

∥

.

AE，即四边形AEFG为平行四边．
∴EF∥AG，（6分）
∴EF⊥面PCD，（7分）
又∵EF?面PEC，∴面PEC⊥面PCD，
即二面角E-PC-D为直二面角．（8分）
（Ⅱ）如图，在RT△PCD中DH⊥PD，垂足为H．
∵面PEC⊥面PCD，且DH垂直于它们的交线，
∴DH⊥面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离．（10分）
在RT△PCD中，CD=2，PD=2

2

，PC=2

3

，
∴DH=

CD×PD

PC

=

2×2 2

2 3

=

2 6

3

，
即点D到面PEC的距离

2 6

3

．（12分）