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(13分)(2011•重庆)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常数a,b∈R.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)e﹣x.求函数g(x)的极值.
(Ⅰ)6x+2y﹣1=0(Ⅱ)g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0时取极小值g(0)=﹣3,在x=3时取极大值g(3)=15e﹣3

试题分析:(I)根据已知中f(x)=x3+ax2+bx+1,我们根据求函数导函数的公式,易求出导数f'(x),结合f'(1)=2a,f'(2)=﹣b,计算出参数a,b的值,然后求出f(1)及f'(1)的值,然后代入点斜式方程,即可得到曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(II)根据g(x)=f′(x)e﹣1求出函数g(x)的解析式,然后求出g(x)的导数g'(x)的解析式,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数g(x)的极值.
解:(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f'(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b=2a,解得b=﹣3
令x=2,得f'(2)=12+4a+b=﹣b,因此12+4a+b=﹣b,解得a=﹣,因此f(x)=x3x2﹣3x+1
∴f(1)=﹣
又∵f'(1)=2×(﹣)=﹣3,
故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣(﹣)=﹣3(x﹣1),即6x+2y﹣1=0.
(II)由(I)知g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x
从而有g'(x)=(﹣3x2+9x)e﹣x
令g'(x)=0,则x=0或x=3
∵当x∈(﹣∞,0)时,g'(x)<0,
当x∈(0,3)时,g'(x)>0,
当x∈(3,+∞)时,g'(x)<0,
∴g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0时取极小值g(0)=﹣3,在x=3时取极大值g(3)=15e﹣3
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及方程组的求解等有关问题,属于中档题.
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