Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b，b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，则椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率建立方程关系求出a，b的关系，然后结合椭圆离心率的定义进行求解即可．

解答 解：在双曲线中c²=a²+b²，
∵双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，即4a²+4b²=5a²，
即a²=4b²，则c²=a²-b²=4b²-b²=3b²，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3{b}^{2}}{4{b}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故椭圆的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线和椭圆离心率的计算，根据条件建立方程求出a，c的关系是解决本题的关键．注意椭圆和双曲线a，c关系的不同．