Question

11．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，求证：
（1）AC∥截面PQMN；
（2）AC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）证出MN∥PQ，再证出MQ∥BD，结合MN⊥QM，证出结论即可．

解答 证明：（1）∵PQMN是正方形，
∴MN∥PQ…（2分）
MN?面ABC，PQ?面ABC，
则MN∥平面ABC，…（5分）
又MN?平面ACD，
且平面ACD∩平面ABC=AC，
由线面平行的性质知MN∥AC…（8分）
又AC?平面PQMN，
MN?平面PQMN，
则AC∥平面PQMN．…（10分）
（2）同理可得MQ∥BD，
又MN⊥QM，
则AC⊥BD．…（12分）

点评 本题主要考查线面平行的性质与判定，考查数形结合思想，是一道中档题．