Question

6．四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是CD的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与PC所成的角；
（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出$\frac{PB}{QB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）以D为坐标原点，分别以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由向量法得到异面直线AE与PC所成的角；
（II）假设线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，设$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$，由向量法能求出λ=3，由此得到线段PB上存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}$=3．

解答 解：以D为坐标原点，分别以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，0）．…（2分）
（ I）$\overrightarrow{AE}=（{-1，1，0}），\overrightarrow{PC}=（{0，2，-2}）$．
则$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PC}＞=\frac{{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}}}{{|{\overrightarrow{AE}}|•|{\overrightarrow{PC}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}•2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$…（4分）
∴$＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PC}＞={60^0}$，即异面直线AE与PC所成的角为60°．…（6分）
（ II）假设线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，设$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$．
设Q（x，y，z），则$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{QB}$，即（1，1，-2）=λ（1-x，1-y，-z），

∴$x=1-\frac{1}{λ}，y=1-\frac{1}{λ}，z=\frac{2}{λ}$．…（8分）
$\overrightarrow{DA}=（{1，0，0}），\overrightarrow{DQ}=（{x，y，z}），\overrightarrow{PC}=（{0，2，-2}）$．
∵PC⊥平面ADQ，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC•}\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DQ}=2y-2z=0}\end{array}}\right.$，∴y=z，即$1-\frac{1}{λ}=\frac{2}{λ}$，∴λ=3．
即线段PB上存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}=3$．…（12分）

点评 本题考查线面角，考查使得线面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．