Question

6．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}，x≤0}\\{x-lnx+5+a，x＞0}\end{array}\right.$的最小值为f（0），则实数a的取值范围是[0，3]．

Answer 1

分析 若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）²为减函数，当x＞0时，求出函数f（x）的最小值f（1）≥f（0），进而得到实数a的取值范围．

解答 解：若f（0）为f（x）的最小值，
则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）²为减函数，故a≥0；
当x＞0时，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即当x=1时函数取得极小值同时也是最小值f（1）=1-ln1+5+a=6+a，
则满足f（1）≥f（0），
即6+a≥a²，得a²-a-6≤0，
解得：-2≤a≤3，
∵a≥0，∴0≤a≤3
综上所述实数a的取值范围是[0，3]，
故答案为：[0，3]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．