Question

15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABS⊥平面CBS，侧面SBC是正三角形，AB=AS，点E是SB的中点．
（1）证明：SD∥平面ACE；
（2）证明：BS⊥AC；
（3）若AB⊥AS，BC=2，求三棱锥S-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于F，连结EF．由中位线定理可得EF∥SD，故SD∥平面ACE；
（2）由三线合一可得BS⊥AE，BS⊥CE，于是BS⊥平面AEC，故BS⊥AC；
（3）由平面ABS⊥平面CBS可得AE⊥平面BCS，于是V_S-BCD=V_D-BCS=V_A-BCS=$\frac{1}{3}{S}_{△BCS}•AE$．

解答 证明：（1）连结BD，交AC于F，连结EF．
∵底面ABCD是平行四边形，
∴F是BD的中点，又E是BS的中点，
∴EF∥SD，
又SD?平面AEC，EF?平面AEC
∴SD∥平面AEC．
（2）∵AB=AS，BC=CS，E是BS的中点，
∴AE⊥BS，CE⊥BS，又AE?平面AEC，CE?平面AEC，AE∩CE=E，
∴BS⊥平面AEC，∵AC?平面AEC，
∴BS⊥BC．
（3）∵平面ABS⊥平面CBS，平面ABS∩平面CBS=BS，AE⊥BS，
∴AE⊥平面BSC．
∵AB⊥AS，BS=BC=CS=2，
∴AE=$\frac{1}{2}BS$=1，S_△BCS=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_S-BCD=V_D-BCS=V_A-BCS=$\frac{1}{3}{S}_{△BCS}•AE$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．