Question

4．如图，已四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M、N分别在PD、PC上，2PN=NC，PM=MD
（1）求证：PC⊥平面AMN；
（2）求四面体P-ABN的体积．

Answer 1

分析 （1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AM}$，然后计算$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AM}$，证得$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AM}$，而AM∩AN=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由2PN=NC，可得V_P-ABN=$\frac{1}{3}$V_P-ABC，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论．

解答 （1）证明：以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），
∵2PN=NC，∴N（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）
$\overrightarrow{CP}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（1，0，1）
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AN}$=（-2）×$\frac{2}{3}$+（-2）×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{4}{3}$=0
$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AM}$=（-2）×1+0+2×1=0
∴$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AM}$
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）解：由题意，V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
∵2PN=NC，
∴V_P-ABN=$\frac{1}{3}$V_P-ABC=$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，以及三棱锥的体积公式，考查向量知识的运用，同时考查了计算能力，属于中档题．