Question

19．已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，且对?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，命题P₁：若f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数；命题P₂：若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）+g（x）为R上的单调函数，则下列命题正确的是（　　）

• A． P₁∧（￢P₂）
• B． （￢P₁）∧P₂
• C． （￢P₁）∧￢P₂
• D． P₁∧P₂

Answer 1

分析 分别求出命题P₁、命题P₂的真假，从而求出复合命题的真假即可．

解答 解：令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴不等式|f（x₁）-f（-x₁）|≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是偶函数，∴f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（-x₁）=0，
∴不等式0≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，又|g（x₁）-g（-x₁）|≥0，
∴g（x₁）-g（-x₁）=0，∴g（-x₁）=g（x₁），
∴函数g（x）是偶函数，故命题命题P₁是真命题；
若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，
则f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
设x₁＜x₂，x＞0时，
∴f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
x＜0时，h（x₁）-h（x₂）＞0，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）上是增函数，
故命题P₂是假命题；
故选：A．

点评 本题考查函数的周期性、奇偶性，考查复合命题的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题