Question

8．已知函数F（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$f（x）（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（　　）

• A． 是奇函数
• B． 是偶函数
• C． 既是奇函数，又是偶函数
• D． 是非奇非偶函数

Answer 1

分析 可令g（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$，运用奇偶性的定义，判断g（x）为奇函数，再由奇函数乘奇函数为偶函数，即可得到f（x）的奇偶性．

解答 解：可令g（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$，即为g（x）=$\frac{cos4x}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$，
由g（-x）=$\frac{cos（-4x）}{{3}^{-x}-{3}^{x}}$=-$\frac{cos4x}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$=-g（x），
可得g（x）为奇函数，
由F（x）=g（x）•f（x）（x≠0）是偶函数，
可得f（x）为奇函数．
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用奇偶函数的定义和性质，主要是奇函数乘奇函数为偶函数，考查化简整理的运算能力，属于中档题．