Question

17．已知定义在区间[-$\frac{π}{2}$，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，当x≥$\frac{π}{4}$时，f（x）=sinx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为S，即可得到答案

解答 解：作函数f（x）的图象（如图）
观察图象，得：若f（x）=a有解，则a∈[0，1]
①$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，f（x）=a有4解，S=π，
②a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）=a有三解，S=$\frac{3}{4}π$，
③0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=1，f（x）=a有2解，S=$\frac{π}{2}$．
∴S不可能为2π．
故选：D．

点评 本题考查图象变换法求函数解析式的方法，考查根的存在性及根的个数的判断，其中根据函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，当x≥$\frac{π}{4}$时，f（x）=sinx，根据对称变换法则，作出函数的图象是解答本题的关键．