Question

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a²=bc．
（1）当a=4，

b

c

=

cosB

cosC

，求△ABC的面积；
（2）求函数f(A)=sin(A+

π

3

)的定义域和值域．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理得到B=C，利用等角对等边得到b=c，把a，b=c代入a²=bc，求出a=b=c=4，得到三角形为等边三角形，求出面积即可；
（2）利用余弦定理表示出cosA，把a²=bc代入利用基本不等式求出cosA的范围，确定出A的范围，进而确定出f（A）的定义域与值域即可．

解答： 解：（1）由正弦定理得：

b

c

=

sinB

sinC

=

cosB

cosC

，即sinBcosC=sinCcosB，
整理得：sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵a=4，a²=bc，
∴a=b=c=4，即△ABC为等边三角形，
则S_△ABC=

3

4

×4²=4

3

；
（2）∵a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

，
∴A∈（0，

π

3

]，即A+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
则f（A）=sin（A+

π

3

）∈[

3

2

，1]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．