Question

已知在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，P为∠ABC的平分线上，∠PCA=20°，BP交AC于点M，CP交AB于点N．求证：PM=NA．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连接DP，DC．由于BP平分∠ABC，由对称性可得PD=PC．∠DPC=60°，△PDC是正三角形．在△ACD中，根据∠ADC=70°=∠CAD，可得AC=DC．在△PCA中，由∠PCA=20°，可知∠PAC=80°．从而∠PAB=30°．在△AMP中，由正弦定理可得：

PM

sin80°

=

PA

sin50°

．在△ANP中，由正弦定理可得：

AN

sin100°

=

PA

sin50°

．即可得出．

解答： 证明：在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连接DP，DC．
∵BP平分∠ABC，
可知C点与点D关于BP对称，
∴PD=PC．
∵∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，
∴△PDC是正三角形，PC=DC．
在△ACD中，∵∠ADC=70°=∠CAD，
∴AC=DC，
∴AC=PC．
在△PCA中，∵∠PCA=20°，
∴∠PAC=80°．
∴∠PAB=∠BAC-∠PCA=110°-80°=30°．
在△AMP中，由正弦定理可得：

PM

sin80°

=

PA

sin50°

．
在△ANP中，由正弦定理可得：

AN

sin100°

=

PA

sin50°

．
∴PM=AN．

点评：本题考查了角平分线的对称性、等边三角形的性质、正弦定理的应用、三角形的外角性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．