Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃+S₆=S₉，则数列{a_n}的公比q是

1或-1

．

Answer 1

分析：分类讨论，q=1满足题意，q≠1利用等比数列的前n项和的公式化简S₃+S₆=S₉得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．

解答：解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁，满足题意；
若q≠1，则

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

a1(1-q9)

1-q

∴q⁹-q⁶-q³+1=0
∴（q³+1）（q³-1）²=0
∵q≠1，∴q=-1
综上知，q=1或-1
故答案为：1或-1．

点评：本题考查等比数列的求和，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．