Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F₂．
（1）求椭圆的方程；
（文科）（2）求弦长CD．
（理科）（2）求△CDF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）F₁（-1，0），可得直线BF₁的方程为y=-2x-2，与椭圆方程联立可得：9x²+16x+6=0．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得：|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|．=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．求出点F₂到直线BF₁的距离d，可得S△CDF₂=$\frac{1}{2}$|CD|•d．

解答 解：（1）由题意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1．
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）∵F₁（-1，0），
∴直线BF₁的方程为y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-2\\ \frac{x2}{2}+y2=1\end{array}$得9x²+16x+6=0．
∵△=16²-4×9×6=40＞0，
∴直线与椭圆有两个公共点，
（文科）设为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），x₁+x₂=$-\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{2}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{256}{81}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{10}{9}$$\sqrt{2}$，
（理科）设为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），x₁+x₂=$-\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{2}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{256}{81}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{10}{9}$$\sqrt{2}$，
又点F₂到直线BF₁的距离d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故S△CDF₂=$\frac{1}{2}$|CD|•d=$\frac{4}{9}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长与面积问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．