Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求二面角的正弦值

Answer 1

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体的实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

则

,

,

以B为原点，BA为x轴，BB1为Y轴，BC为Z轴建立空间直角坐标系

可得二平面的法向量。则所求值为.

考点：（1）三视图（2）线面垂直（3）二面角.