如图所示,ABCD是正方形,平面ABCD,E,F是AC,PC的中点.
(1)求证:;
(2)若,求三棱锥
的体积.
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景,考查线线平行、线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积等数学知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力、转化能力和计算能力.第一问,因为是正方形,所以对角线互相垂直,在
中
分别是
中点,利用中位线,得
,因为
平面
,∴
平面
,∴
垂直面
内的线
,利用线面垂直的判断,得
平面
,所以得证;第二问,因为
平面
,所以显然
是三棱锥
的高,在正方形中求出
的边长及面积,从而利用等体积法将
转化为
,利用三棱锥的体积公式计算.
试题解析:(1)连接,
∵是正方形,
是
的中点,
∴ 1分
又∵分别是
的中点
∴ ∥
2分
又∵平面
, ∴
平面
, 3分
∵平面
, ∴
4分
又∵ ∴
平面
5分
又∵平面
故 6分
(2)∵平面
,∴
是三棱锥
的高,
∵是正方形,
是
的中点,∴
是等腰直角三角形 8分
,故
,
10分
故 12分
考点:1.中位线;2.线面垂直的判断与性质;3.三棱锥的体积;4.等体积转换.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD?
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中垂足O在线段DE内.
(1)求证:CO⊥平面ABED;
(2)问∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为多少.
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如图,储油灌的表面积为定值,它的上部是半球,下部是圆柱,半球的半径等于圆柱底面半径.
⑴试用半径表示出储油灌的容积
,并写出
的范围.
⑵当圆柱高与半径
的比为多少时,储油灌的容积
最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.
(1)求证:BC1∥平面CA1D;
(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1= ,求三棱锥B1-A1DC的体积.
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