Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x+a+2b-1是R上的奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f′（2）+f′（-2）的值；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，根据f（-x）=-f（x），得到2bx²+2（a+2b-1）=0，然后，求解即可；
（2）首先，求解导数，然后，求解其值；
（3）直接结合导数求解其单调区间即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-3x+a+2b-1是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴2bx²+2（a+2b-1）=0，
∴

2b=0 a+2b-1=0

，
∴

a=1 b=0

，
∴f（x）=x³-3x．
（2）根据（1）得
f′（x）=3x²-3，
∴f′（2）=9，f′（-2）=9，
∴f′（2）+f′（-2）=18，
（3）令f′（x）=3x²-3＞0，
∴x＜-1 或 x＞1，
∴单调增区间为：（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）=3x²-3＜0，
∴-1＜x＜1，
∴单调减区间为：（-1，1）．

点评：本题重点考查了函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．