Question

11．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，点B和点C在直线AE的两侧．求证：AB•AC=AD•AE．

Answer 1

分析 如图所示，连接BE．AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ABE=90°．由∠AEB与∠ACB都对应$\widehat{AB}$，可得∠AEB=∠ACB．可得△ABE∽△ADC．即可证明结论．

解答 证明：如图所示，连接BE．
∵AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ABE=90°．
由AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC=90°．
由∠AEB与∠ACB都对应$\widehat{AB}$，∴∠AEB=∠ACB．
∴△ABE∽△ADC．
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，
∴AB•AC=AD•AE．

点评 本题考查了圆的性质、相似三角形的判定应与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．