Question

已知f（x）=2sin（x+

π

6

），x∈R．
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）设α，β∈∈[0，

π

3

]，f（α）=2，f（β）=

8

5

，求f（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接根据函数f（x）的解析式求得f（

π

6

）的值．
（2）根据f（α）=2，求得sin（x+

π

6

）的值，可得α的值．根据 f（β）=

8

5

，求得sin（β+

π

6

）的值，可得cos（β+

π

6

）的值．再根据f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]，利用两角和差的余弦公式求得f（α+β）的值．

解答： 解：（1）f（

π

6

）=2sin（

π

6

+

π

6

）=2sin

π

3

=

3

．
（2）∵α，β∈[0，

π

3

]，f（α）=2sin（α+

π

6

）=2，∴sin（α+

π

6

）=1，
∴α+

π

6

=

π

2

，α=

π

3

．
∵f（β）=2sin（β+

π

6

）=

8

5

，∴sin（β+

π

6

）=

4

5

，
∵β+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，∴cos（β+

π

6

）=

3

5

．
∴f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β）=2cosβ
=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]=2cos（β+

π

6

）cos

π

6

+2sin（β+

π

6

）sin

π

6

 
=2×

3

5

×

3

2

+2×

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

5

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．