Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，

1

7

）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）设M（x₁，y₁）∵F2(1，0)|MF2| =

5

3

．
由抛物线定义，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

∵

y

21

=4x1，∴y1=

2 6

3

．
∴M(

2

3

，

2 6

3

)∵M在c₁上，

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b²=a²-1
∴9a⁴-37a²+4=0∴a²=4或a2=

1

9

＜c2舍去．
∴a²=4，b²=3
∴椭圆c₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①直线BD的方程为y=x+

1

7

∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=-x+m

，得7x²-8mx+4m²-12=0
∵A，C、在椭圆C₁上，∴△＞0解得(-

7?

，＜m＜

7?

)，
设A（x₁，y₁），c（x₂，y₂），
则x1+x2=

8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

，
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=

6m

7

，AC的中点坐标为(

4m

7

，

3m

7

)．
由ABCD为菱形可知，点(

4m

7

，

3m

7

)在直线y=x+

1

7

上，
∴

3m

7

=

4m

7

+

1

7

，m=-1∈(-

7

，

7

)．
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积
S=

3

2

|AC|2=

3

2

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

3

2

 •2[(x1+x2)2-4x1x2]

3

(

64m2

49

-4

4m2-12

7

)
=

48 3

49

(7-m2 )，(-

7

，＜m＜

7

)．
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值

48 3

7

．