Question

[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f（x）=x-[x]，（x∈R），g（x）=log₄（x-1），则函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当0＜x＜1时，[x]=0，则f（x）=x-[x]=x，
当1≤x＜2时，[x]=1，则f（x）=x-[x]=x-1，
当2≤x＜3时，[x]=2，则f（x）=x-[x]=x-2，
当3≤x＜4时，[x]=3，则f（x）=x-[x]=x-3，
当4≤x＜5时，[x]=4，则f（x）=x-[x]=x-4，
当5≤x＜6时，[x]=5，则f（x）=x-[x]=x-5，此时f（x）∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
即当n≤x＜n+1，n≥6时，[x]=n，则f（x）=x-[x]=x-n∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
则两个函数图象有2个交点，
故函数零点的个数为2个，
故选：C

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据[x]的定义，求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．