Question

3．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；
（Ⅱ）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．

解答 解：（Ⅰ）[120，130）内的频率为：
1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3；…（5分）
（Ⅱ）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）．
[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．   …（7分）
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m、n；    …（8分）
在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a、b、c、d；  …（9分）
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件共有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种．…（10分）
则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种．  …（11分）
∴$P（A）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．