Question

（本题满分16分）已知函数，．
（1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，．

Answer 1

（1）a的取值范围是
（2）满足条件的整数对是
（3）

（1）当时，，………………………………………………1分
若，，则在上单调递减，符合题意；………3分
若，要使在上单调递减，
必须满足 ……………………………………………………………………5分
∴．综上所述，a的取值范围是 …………………………………6分
（2）若，，则无最大值，………………………7分
故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足即且，…8分
此时，时，有最大值．………………………………………分
又取最小值时，，………………………………………………………分
依题意，有，则，…………分
∵且，∴，得，………………分
此时或．
∴满足条件的整数对是．……………………………12分
（3）当整数对是时，
，是以2为周期的周期函数，………………………分
又当时，,构造如下：当，则，
，
故…