Question

16．已知函数f（x）=mxlnx-x，m∈[0，+∞），x∈（1，+∞）
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＞-1恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x₁＞x₂＞1时，比较x${\;}_{1}^{{x}_{2}-1}$，x${\;}_{2}^{{x}_{1}-1}$的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）对m进行讨论，判断f（x）的单调性，得出令f_min（x）＞-1即可得出m的范围；
（II）令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，根据（I）的结论得出g（x）的单调性，利用g（x）的单调性得出结论．

解答 解：（I）f′（x）=mlnx+m-1，
①若m=0，则f′（x）=-1＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）＜f（1）=-1，不符合题意；
②若m＞0，令f′（x）=0得x=e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$．
（i）若e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$≤1，即m≥1时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（1）=-1，符合题意．
（ii）若e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$＞1，即0＜m＜1，则当1＜x＜e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$时，f′（x）＜0，当x＞e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（1，e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$）上单调递减，在（e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）＜f（1）=-1，不符合题意．
综上，m的取值范围是[1，+∞）．
（II）令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$（x＞1），则g′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$．
由（1）知当m=1时，f（x）=xlnx-x＞-1恒成立，
∴x-xlnx＜1，∴g′（x）=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数，
又x₁＞x₂＞1，∴g（x₁）＜g（x₂），即$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$＜$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴（x₂-1）lnx₁＜（x₁-1）lnx₂，
即lnx₁${\;}^{{x}_{2}-1}$＜lnx₂${\;}^{{x}_{1}-1}$．
∴x₁${\;}^{{x}_{2}-1}$＜x₂${\;}^{{x}_{1}-1}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值与函数单调性的应用，属于中档题．