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已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3.求f(x)的解析式.
分析:根据当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可先求出x∈[0,3],x∈[3,6]时的解析式,再利用f(x)为奇函数,可求出x∈[-3,0],x∈[-6,-3]时的解析式,从而得到f(x)在R上的解析式.
解答:解:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=-f(0),f(0)=0,
当x∈[0,3]时,设f(x)=kx+b,则b=0.
当x∈[3,6]时,由题设,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可设f(x)=-a(x-5)2+3.
因为f(6)=2,所以-a+3=2,所以a=1.
所以x∈[3,6]时f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22,
所以f(3)=-1,所以3k=-1,所以k=-
1
3

∴当x∈[0,3]时,f(x)=-
1
3
x
∵f(x)为奇函数
∴x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-
1
3
x,
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
所以f(x)=
x2+10x+22,x∈[-6,-3]
-
1
3
x,x∈[-3,3]
-x2+10x-22,x∈[3,6]
点评:本题重点考查函数的解析式,考查函数的奇偶性,解题的关键是求出x∈[0,3],x∈[3,6]时的解析式.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=x+
a
x
的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值.
(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

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已知函数f(x)=2x+
5x
的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=2x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)|PM|•|PN|是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由;
(2)设点O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x+
ax
的定义域为(0,+∞),a>0且当x=1时取得最小值,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值;
(2)问:PM•PN是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由;
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

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已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直线y=m与两个相邻函数的交点为A,B,若m变化时,AB的长度是一个定值,则AB的值是(  )

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已知函数f(x)=x3-ax+b存在极值点.
(1)求a的取值范围;
(2)过曲线y=f(x)外的点P(1,0)作曲线y=f(x)的切线,所作切线恰有两条,切点分别为A、B.
(ⅰ)证明:a=b;
(ⅱ)请问△PAB的面积是否为定值?若是,求此定值;若不是求出面积的取值范围.

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