Question

2．已知二次函数f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a为偶函数，且f（x+1）-f（x）=2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+λx，求函数g（x）在[0，1]内的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二次函数f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a为偶函数，求出b，利用f（x+1）-f（x）=2x+1，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=x²+λx+2，对称轴x=-$\frac{λ}{2}$，分类讨论求函数g（x）在[0，1]内的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a为偶函数，
∴2b-1=0，∴b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=ax²+3-a
∵f（x+1）-f（x）=2x+1，
∴a（x+1）²+3-a-（ax²+3-a）=2x+1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=x²+λx+2，对称轴x=-$\frac{λ}{2}$
①当-$\frac{λ}{2}$＜0即λ＜0时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（0）=2----------（8分）
②当0≤$\frac{λ}{2}$≤1，即0≤λ≤2时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（-$\frac{λ}{2}$）=2-$\frac{{λ}^{2}}{4}$--------（10分）
③当$\frac{λ}{2}$＞1即λ＞2时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（1）=3+λ．
综上所述，函数g（x）在[0，1]内的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{2，λ＜0}\\{2-\frac{{λ}^{2}}{4}，0≤λ≤2}\\{3+λ，λ＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的解析式，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，求出函数的解析式，正确分类讨论是关键．