Question

17．已知数列{a_n}中的前n项和为S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，又a_n=log₂b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列a_n=S_n-S_n-1的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+n}}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}+（n-1）}}{2}=n$…（3分）
当n=1时，${a_1}={S_1}=\frac{{{1^2}+1}}{2}=1$，也适合上式…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．…（6分）
（2）由 a_n=log₂b_n，得${b_n}={2^n}$…（9分）
则数列{b_n}是公比为2的等比数列，
则数列{b_n}的前n项和为：${T_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$…（12分）

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及前n项和的计算，根据a_n=S_n-S_n-1的关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．