Question

如图，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[

π

12

，

π

6

]，则双曲线离心率e的取值范围为（　　）

• A、[

  3

  ，2+

  3

  ]
• B、[

  2

  ，

  3

  +1]
• C、[

  2

  ，2+

  3

  ]
• D、[

  3

  ，

  3

  +1]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用S_△ABF=2S_△AOF，先求出e²=

1

1-sin2α

，再根据α∈[

π

12

，

π

6

]，即可求出双曲线离心率的取值范围．

解答： 解：设左焦点为F'，令|AF|=r₁，|AF'|=r₂，则|BF|=|F'A|=r₂，
∴r₂-r₁=2a，
∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，
∴|OA|=|OB|=|OF|=c，
∴r₂²+r₁²═4c²，
∴r₁r₂=2（c²-a²）
∵S_△ABF=2S_△AOF，
∴

1

2

r₁r₂═2•

1

2

c²sin2α，
∴r₁r₂═2c²sin2α
∴c²sin2α=c²-a²
∴e²=

1

1-sin2α

，
∵α∈[

π

12

，

π

6

]，
∴sin2α∈[

1

2

，

3

2

]，
∴e²=

1

1-sin2α

∈[2，（

3

+1）²]
∴e∈[

2

，

3

+1]．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．