Question

如图1，在边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=

3 2

2

．
（Ⅰ）证明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）证明：CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）当AD=

2

3

AB时，求三棱锥F-DEG的体积V_D-EFG．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明DE∥BC，然后，根据线面平行的判定定理，容易得到结论；
（Ⅱ）可以通过证明AF⊥CF和CF⊥BF，从而证明CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）容易得到：GE⊥平面DFG，然后借助于体积公式进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）在等边三角形ABC中，AD=AE，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，在折叠后的三棱锥A-BCF中
也成立，∴DE∥BC，
∵DE?平面BCF，
BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF； 
（Ⅱ）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥CF   ①，
∴BF=CF=

3

2

．
∵在三棱锥A-BCF中，BC=

3 2

2

，
∴BC²=BF²+CF²，
∴CF⊥BF    ②
∵BF∩AF=F，
∴CF⊥平面ABF；  
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知GE∥CF，结合（Ⅱ）可得GE⊥平面DFG．
V_D-EFG=V_E-DFG=

1

3

×

1

2

×DG×FG×GE=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

．

点评：本题重点考查了空间几何体的体积公式、线面平行的判定与性质等知识，属于中档题．