Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，面PAD⊥面ABCD，四边形
BCDE为矩形∠PAD=60°，PB=2$\sqrt{3}$，PA=ED=2AE=2．
（Ⅰ）求证：CB⊥面PEB
（Ⅱ） 已知$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}（{λ∈R}）$，且PA∥面BEF，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出$PE=\sqrt{3}$，从而PE⊥AD，再由面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，即可证得CB⊥面PEB；
（Ⅱ）连接AC交BE于点M，连接FM，运用线面平行的性质定理，得到PA∥FM，再由平行线分线段成比例，得到λ的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
∴$PE=\sqrt{3}$，
∴PE⊥AD．
又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，PE⊥面ABCD，
∴PE⊥CB，
又∴BE⊥CB，且PE∩BE=E，
∴CB⊥面PEB．
（Ⅱ）解：连接AC交BE于点M，连接FM．
∵PA∥面BEF，
∴FM∥AP，
∵EM∥CD，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$
∵FM∥AP，
∴$\frac{PF}{FC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴$λ=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质定理，面面垂直的性质定理，同时考查等积法求点到平面的距离，平行线分线段成比例等，属于中档题．