Question

已知点A、B在抛物线y²=2x上且位于x轴的两侧，

OA

•

OB

=3（其中O为原点），则直线AB所过的定点坐标是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及

OA

•

OB

=3消元，最后可得定点坐标．

解答： 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=2x，可得y²-2ty-2m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-2m，
∵

OA

•

OB

=3，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=3，从而

1

4

（y₁•y₂）²+y₁•y₂-3=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-6，故m=3．
当y=0时，x=3恒成立，
故直线AB所过的定点坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）．

点评：求解本题时，应考虑联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．