Question

设函数f（x）=

π

2

-cosx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}．
（1）求数列{x_n}；
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：计算题,作图题,导数的综合应用,等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（1）作出f（x）=

π

2

-cosx的图象，结合图象可得当函数f（x）=

π

2

-cosx取得极小值时，cosx=1，从而可得x_n=2nπ，n∈N^*；
（2）利用等差数列前n项和公式求和，再求正切值．

解答： 解：（1）f（x）=

π

2

-cosx的图象如右图，
由图可知，
当函数f（x）=

π

2

-cosx取得极小值时，
cosx=1，
即x=2kπ，
故数列{x_n}是以2π为首项，2π为公差的等差数列，
即x_n=2nπ，n∈N^*；
（2）S_n=

(2π+2nπ)

2

n=n（n+1）π；
tanS_n=tan（n（n+1）π）=tan0=0．

点评：本题考查了导数的应用，三角函数的性质与应用，同时考查了数列的通项公式及前n项和，属于中档题．