Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ACD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PF=

1

3

PB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由已知得OE∥AP，由此能证明PA∥平面EDB．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PF=

1

3

PB．
（3）求出平面DBP的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，
连结OE，∵E是PC中点，
∴OE∥AP，
∵AP不包含于平面EDB，OE?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）证明：以D为原点，DA为x轴，
DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设PD=DC=2，
则P（0，0，2），B（2，2，0），
C（0，2，0），E（0，1，1），

PB

=（2，2，-2），
设F（a，b，c），

PF

=λ

PB

，
则（a，b，c-2）=（2λ，2λ，-2λ），
∴F（2λ，2λ，2-2λ），

EF

=（2λ，2λ-1，1-2λ），
∵EF⊥PB交PB于点F，
∴

EF

•

PB

=4λ+4λ-2-2+4λ=0，
解得λ=

1

3

，
∴PF=

1

3

PB．
（3）解：

DP

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），
设平面DBP的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DP =2z=0 n • DB =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0）．

PB

=（2，2，-2），

PC

=(0，2，-2)，
设平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PB =2a+2b-2c=0 m • PC =2b-2c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
∴二面角C-PB-D的大小为60°．

点评：本题考查PA∥平面EDB的证明，考查PF=

1

3

PB的证明，考查二面角C-PB-D的大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．