Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求AE的长；
（Ⅲ）求二面角E-PC-A的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明CD⊥平面PAD，AG⊥平面PCD，作EF⊥PC于F，证明EF∥AG，利用直线与平面平行的判定定理证明AG∥平面PEC．
（Ⅱ）证明AE∥平面PCD，推出AE=GF，通过PA²=PG•PD，求出PG，利用

GF

CD

=

PG

PD

求出AE，即可．
（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，说明∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角，利用sin∠EFO=

EO

EF

求出结果即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF       …（5分）
∵PA=3，AB=4∴PD=5，AG=

12

5

，
又PA²=PG•PD∴PG=

9

5

…（6分）
又

GF

CD

=

PG

PD

∴GF=

9 5 ×4

5

=

36

25

∴AE=

36

25

…（8分）
（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角  …（10分）EO=AE•sin45°=

36

25

×

2

2

=

18 2

25

，又EF=AG=

12

5

∴sin∠EFO=

EO

EF

=

18 2

25

×

5

12

=

3 2

10

…（13分）

点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．