Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）若f（x）=x+

2b

x

在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实数b的值；
（3）若c∈[1，4]，求函数f（x）=x+

c

x

在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）运用基本不等式，结合条件可得，

2b

=4，解得b，即可；
（3）运用基本不等式，可得当x=

c

时，f（x）取得最小值f（

c

）=2

c

，讨论当1≤c≤2时，当c=2时，当2＜c≤4时，求得最大值即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1-

a

x2

∴当x＞0时，由f′（x）＞0可解得x＞

a

，
由f′（x）＜0可解得0＜x＜

a

，
∴函数f（x）在（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数；
（2）f（x）=x+

2b

x

（x＞0）≥2

2b

，当且仅当x=

2b

，取得最小值，
∵2^b＞0∴由题意可知

2b

=4，故b=4；
（3）∵1≤c≤4∴1≤

c

≤2，
∴函数f（x）在[1，

c

]上是减函数，在（

c

，2]上是增函数，
故当x=

c

时，f（x）取得最小值f（

c

）=2

c

又∵f（1）=1+c，f（2）=2+

c

2

，
∴当1≤c≤2时，f（x）的最大值为f（2）=2+

c

2

，
当c=2时，f（x）的最大值为f（1）=f（2）=3，
当2＜c≤4时，f（x）的最大值为f（1）=1+c．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数的单调性和运用：求最值和范围，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．