Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x-1．
（1）若x∈[-π，π]，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范围；
（3）求函数的对称轴和对称中心．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式，取k的值，即可得到所求；
（2）由x的范围，求得2x+

π

6

的范围，结合正弦函数的图象，即可得到所求f（x）的范围；
（3）运用正弦函数的对称轴方程和对称中心，解方程即可得到所求．

解答： 解：（1）函数f（x）=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1=2sin（2x+

π

6

）-1．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
由于x∈[-π，π]，则k=0，得-

π

3

≤x≤

π

6

，k=1得

2π

3

≤x≤π，
k=-1，得，-π≤x≤-

5π

6

，
即有f（x）的单调增区间为：[-

π

3

，

π

6

]，[-π，-

5π

6

]，[

2π

3

，π]；
（2）由于x∈[-

5π

12

，

π

3

]，则2x+

π

6

∈[-

2π

3

，

5π

6

]，
则sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，则f（x）∈[-3，1]，
则f（x）的取值范围：[-3，1]；
（3）由于f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，则x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
再令2x+

π

6

=kπ，解得，x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
即有函数的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，-1），k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的单调区间和正弦函数的对称轴和对称中心，考查运算能力，属于中档题和易错题．