Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出

PG

GA

的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的性质

专题：平面向量及应用,空间角

分析：（Ⅰ）首先假设点的存在，建立空间直角坐标系利用法向量建立向量间的关系．
（Ⅱ）利用线面的夹角，和法向量，求出夹角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）假设在PA上存在点G，使得EG∥平面
PFD，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=a，GA=b．
∵F（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），G（0，0，b），
∴

DF

=(1，-1，0)，

PD

=(0，2，-a)，

GE

=(

1

2

，0，-b)．
设平面PFD的一个法向量

m

=(x，a，z)．
∵

m • DF =x-a=0 m • PD =2a-az=0

，
∴

x=a z=2

，
∴

m

=(a，a，2)．
∵

GE

•

m

=

1

2

a-2b=0，
∴b=

1

4

a．
∴

PG

GE

=3．
PA上存在点G，使得EG∥平面PFD．
（Ⅱ）∵∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，
所以：∠PBA=45°
∵AB=1
∴PA=1
由（Ⅰ）得：平面PDF的法向量为：

m

=(1，1，2)
平面APD的法向量为：

n

=(1，0，0)
由于：cos＜

m，

n

＞=

6

6

所以：二面角A-PD-F的平面角的余弦值

6

6

．

点评：本题考查的知识要点：存在性问题的应用，二面角的应用．法向量的应用，空间直角坐标系的建立，属于基础题型．