Question

已知f（x）=ax²+bx+c，且b＞0，若对任意x有f（x）≥0，则

f(1)

b

的最小值为（　　）

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数f（x）对于任意实数x都有f（x）≥0，得到二次函数的开口方向和最小值，从而确定a，b，c的关系．

解答： 解：因为二次函数f（x）=ax²+bx+c对于任意实数x都有f（x）≥0．
则图象开口向上，且△≤0，联立有

a＞0 △=b2-4ac≤0

则4ac≥b²≥0，所以c＞0且ac≥

b2

4

，即

ac

b2

≥

1

4

，
所以

f(1)

b

=

a+b+c

b

=

a

b

+

c

b

+1，
∵b＞0，a＞0，c＞0，
∴

a

b

＞0，

c

b

＞0，
∴

f(1)

b

≥2

ac b2

+1≥2

1 4

+1=2，（当且仅当a=c时成立）
所以

f(1)

b

的最小值为2．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，以及基本不等式的应用．