Question

抛物线有光学性质，从焦点出发的光经抛物线反射后沿平行于抛物线的对称轴方向射出，今有抛物线y²=2px（p＞0），一光源在点A（6，4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的B点，反射后，又射向抛物线上的C点，再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线l：x-y-7=0上的点D，再反射后又射回到A点，如图所示，则此抛物线的方程为（　　）

• A、y²=2x
• B、y²=4x
• C、y²=8x
• D、y²=16x

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先，根据光线CD经直线l反射后又射向A点，得到直线CD与直线AD关于直线l对称．求解点A关于直线l的对称点为A′（11，-1），然后，得到点C的纵坐标，最后，确定p=2，从而得到其抛物线标准方程．

解答： 解：∵光线CD经直线l反射后又射向A点，
∴直线CD与直线AD关于直线l对称．
设点A关于直线l的对称点为A′（x′，y′），
∴

y′-4 x′-6 •1=1 x′+6 2 - y′+4 2 -7=0

，
∴

x′+y′-10=0 x′-y′-12=0

，
∴

x′=11 y′=-1

，
∴A′（11，-1），
∴直线CD的方程为y=-1，
∴点C的纵坐标为-1，
∵点A的纵坐标为4，
∴1×4=p²，
∴p=2，
∴抛物线的标准方程为：y²=4x，
故选：B．

点评：本题重点考查了抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．