Question

数列{a_n}是等差数列的一个充要条件是（S_n是该数列前n项和）（　　）

• A、S_n=a_n+b
• B、S_n=a_n²+b_n+c
• C、S_n=a_n²+b_n （a≠0）
• D、S_n=a_n²+b_n

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：设S_n=a_n²+b_n+c，由S_n求a_n的过程可得必要条件是：a≠0，c=0．只需再证明充分性即可，注意n的范围的限制．

解答： 解：设S_n=a_n²+b_n+c
当n=1时，a₁=a+b+c；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a
由于a≠0，∴当n≥2时，{a_n}是公差为2a等差数列．
要使{a_n}是等差数列，则a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差数列的必要条件是：a≠0，c=0．
充分性：
当a≠0，c=0时S_n=a_n²+b_n．
当n=1时，a₁=a+b；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴a_n=2an+b-a，进而可得a_n-a_n-1=2a，
∴{a_n}是等差数列．
综上可知，数列{a_n}是等差数列的充要条件是：S_n=a_n²+b_n．
故选：C

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的特点，涉及充要条件的证明，属中档题．