Question

已知动点M（x，y）到直线l：x=-8的距离是它到点N（-2，0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程．
（2）是否存在直线m过点P（0，-6）与动点M的轨迹C交于A，B两点，且A是PB的中点？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线m的斜率．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（2）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x₁+x₂，x₁x₂，结合2x₁=x₂得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．

解答： 解：（Ⅰ1）点M（x，y）到直线x=-8的距离是它到点N（-2，0）的距离的2倍，则
|x+8|=2

(x+2)2+y2

，即（x+8）²=4[（x+2）²+y²]，
整理得

x2

16

+

y2

12

=1．
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）P（0，-6），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中点，得2x₁=0+x₂，2y₁=-6+y₂．
由题意，直线m的斜率k存在．设直线m的方程为：y=kx-6．
代入椭圆方程，整理得：（3+4k²）x²-48kx+96=0．
所以x₁+x₂=

48k

3+4k2

，x₁x₂=

96

3+4k2

．
因为2x₁=x₂．
则

x1

x2

+

x2

x1

=

5

2

，
所以

( 48k 3+4k2 )2-2× 96 3+4k2

96 3+4k2

=

5

2

．
解得k=±

3

2

．
所以，直线m的斜率k=±

3

2

．

点评：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．