Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且直线2x+y-3=0与椭圆C相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，点M是直线x=2上的一个动点，O为坐标原点过点F作0M的垂线，垂足为K，并延长FK与以OM为直径的圆交于点N，求证：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$求得a²=2c²，将直线方程代入椭圆方程，由直线与椭圆相切可知△=0，即可求得b和a的值，即可求得椭圆方程；
（2）由（1）可知，求得F点坐标，由M（2，m），点N（x，y），根据向量的坐标表示表示出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，将直线代入即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=2c²，问问
由a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=-2x+3}\end{array}\right.$，整理得：9x²-24x+18-2b²=0，
直线2x+y-3=0与椭圆C相切，
∴△=0，即24²-4×9×（18-2b²）=0，
解得b=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：∵F（1，0），点M（2，m），点N（x，y），
FN的方程为：y-0=-$\frac{2}{m}$（x-1），
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（x，y）•（2，m）=2x+ym=2x-m×$\frac{2}{m}$（x-1）=2x-2x+2=2，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$为定值2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，利用椭圆的性质求椭圆方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系的应用，考查运算能力，属于中档题．