Question

（本小题满分12分）
已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心(中线的交点)在抛物线上，

(1)求和的方程.
（2）有哪几条直线与和都相切？（求出公切线方程）

Answer 1

(1) 抛物线的方程为：， 椭圆的方程为：
(2) 有3条直线与和都相切.

试题分析：.解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，       
所以，即，由 ,             
椭圆的方程为： ,联立抛物线的方程         
得：， 解得：或（舍去），所以 ，
即，所以的重心坐标为.        
因为重心在上，所以，得.所以.              
所以抛物线的方程为：， 椭圆的方程为：.      
(2)因抛物线：开口向下且关于y轴对称，所以与x轴垂直的直线都不是其切线。
所以可设直线y=kx+m与和都相切,                            
则由有相等实根                    
                     
  
有3条直线与和都相切.
点评：解决的关键是利用方程的性质得到a,bc的值，同时利用线圆相切的关系来分析结论，属于基础题。