Question

10．已知函数f（x）的定义域为R，对定义域内任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在定义域上单调递增；
（3）设g（x）=|a^x-1|（0＜a＜1），且关于x的方程f[g²（x）+mg（x）-1]+f[mg（x）+m+2]=0（m∈R）有三个不等实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出特殊函数值f（0）=0，再根据y=-x推得f（x）+f（-x）=0，即得f（x）为奇函数；
（2）根据单调性的定义用作差的方法判断和证明函数的单调性；
（3）运用函数的单调性，函数与方程间的关系确定方程g²（x）+2mg（x）+m+1=0有三个解，再分类讨论，得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，
得f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
因此，函数f（x）是奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
因为x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞0
所以f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂）
则f（x）在定义域上单调递增；
（3）由题知f[g²（x）+2mg（x）+m+1]=f（0），
因为f（x）在定义域上是单调函数，
所以g²（x）+2mg（x）+m+1=0，
即方程g²（x）+2mg（x）+m+1=0有三个解，
令t=g（x），设方程t²+2mt+m+1=0两根为t₁，t₂（t₁＜t₂），
则t₁=0，0＜t₂＜1，或0＜t₁＜1，t₂=1，或0＜t₁＜1，t₂＞1，
所以，分三类讨论如下：
①当t₁=0时，有m+1=0，得m=-1，所以t₂=2，不满足题意；
②当t₂=1时，有3m+2=0，得$m=-\frac{2}{3}$，所以${t_1}=\frac{1}{3}$，满足题意；
③当0＜t₁＜1，t₂＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ 3m+2＜0\end{array}\right.$，所以$-1＜m＜-\frac{2}{3}$
综合以上讨论得，$m∈（-1，-\frac{2}{3}]$．

点评 本题主要考查了抽象函数奇偶性和单调的判断和证明，以及应用函数的单调性解不等式和方程，体现了函数与方程，数形结合与分类讨论的解题思想，属于难题．