Question

1．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，A₁D₁的中点，求证：DF∥平面ACE．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF∥平面ACE．

解答 证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AB=a，AD=b，AA₁=c，
∵E，F分别为AB₁，A₁D₁的中点，
∴D（0，0，0），F（$\frac{a}{2}$，0，c），A（a，0，0），C（0，b，0），E（a，$\frac{b}{2}$，c），
$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{a}{2}$，0，c），$\overrightarrow{AC}$=（-a，b，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{b}{2}$，c），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-ax+by=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{b}{2}y+cz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{a}{b}$，-$\frac{a}{2c}$），
$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}$=$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}$=0，
∵DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE．

点评 本题考查线面平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．