Question

13．已知$\overrightarrow m=（2\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow n=（{cos^2}\frac{A}{2}，sinA）$，A、B、C是△ABC的内角；
（1）当$A=\frac{π}{2}$时，求$|\overrightarrow n|$的值；
（2）若$C=\frac{2π}{3}$，|AB|=3，当$\overrightarrow{m•}\overrightarrow n$取最大值时，求A的大小及边BC的长．

Answer 1

分析 （1）由$A=\frac{π}{2}$即可求出向量$\overrightarrow{n}$的坐标，从而得出$|\overrightarrow{n}|$的值；
（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2sin（A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，从而看出A=$\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．

解答 解：（1）$A=\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，1）$；
∴$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2\sqrt{3}co{s}^{2}\frac{A}{2}+sinA$
=$\sqrt{3}（1+cosA）+sinA$
=$2sin（A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$；
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值时，$A=\frac{π}{6}$；
又$C=\frac{2π}{3}，|AB|=3$；
∴在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{|AB|}{sinC}=\frac{|BC|}{sinA}$；
即$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{|BC|}{sin\frac{π}{6}}$；
∴$|BC|=\sqrt{3}$．

点评 考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．