Question

【题目】如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点在棱上，点在棱上，且.在侧面内以为一个顶点作边长为1的正方形，侧面内动点满足到平面距离等于线段长的倍，则当点运动时，三棱锥的体积的最小值是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

建立空间直角坐标系，求出P的轨迹方程，确定三棱锥A﹣HPI的体积最小时，P的坐标，即可得出结论．

解：建立空间直角坐标系，如图所示

设P（x，4，z），则F（1，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；

∵PNPF，∴＝2（x﹣1）2+2（z﹣3）2，

化简得+（z﹣3）2，P点轨迹为椭圆，

∴三棱锥A﹣HPI的体积最小，P点处的切线平行于BI，

∵A（4，0，0），H（0，0，1），I（0，4，1），

∴（﹣4，0，1），（﹣4，4，1），

设平面AHI的法向量为（x，y，z），则，

∴（1，0，4），

∵（，4，）∴P到平面AHI的距离为

∵+（z﹣3）2

设，

则，

∴三棱锥A﹣HPI的体积的最小值是

故选：B．